Автор ЕГЭ 2023. Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Часть 1 содержит 11 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Пробный вариант составлен на основе официальной демоверсии от ФИПИ за 2023 год.
В конце варианта приведены правильные ответы ко всем заданиям. Вы можете свериться с ними и найти у себя ошибки.
Скачать тренировочный вариант ЕГЭ: Скачать
Интересные задания:
1. Через концы ? и ? дуги окружности с центром ? проведены касательные ?? и ??. Меньшая дуга ?? равна 58°. Найдите угол ???. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 122
2. В прямоугольном параллелепипеде ?????1?1?1?1 известны длины рёбер: ?? = 7, ?? = 3, ??1 = 4. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки ?, ? и ?1.
Ответ: 35
3. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Эстонии, 7 из Латвии, 7 из Литвы и 10 из Польши. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Литвы.
Ответ: 0,25
4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Ответ: 0,83
7. На рисунке изображён график функции ? = ? ′(?) − производной функции ?(?), определённой на интервале (−3; 8). Найдите точку максимума функции ?(?).
Ответ: 7
8. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ?0 = 60 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением ? = 18 км/ч 2 . Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле ? = ?0? + ?? 2 2 , где ? − время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.
Ответ: 20
9. В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?
Ответ: 16
10. На рисунке изображён график функции вида ?(?) = ?? 2 + ?? + ?, где числа ?, ? и ? − целые. Найдите значение ?(−12).
Ответ: 61
12. а) Решите уравнение 8 ? − 9 ∙ 2 ?+1 + 2 5−? = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log5 2 ; log5 20].
13. В прямоугольном параллелепипеде ?????1?1?1?1 известны длины рёбер: ?? = 4, ?? = 3, ??1 = 2. Точки ? и ? − середины рёбер ?1?1 и ??1 соответственно. Плоскость ??? пересекает ребро ?1?1 в точке ?. а) Докажите, что ?1?: ??1 = 2: 1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ?????1?1?1?1 плоскостью ???.
14. Решите неравенство (log2 2? − 2 log2 ?) 2 < 11log2 2? − 22 log2 ? − 24.
15. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей; – к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
17. Найдите все значения ?, при каждом из которых уравнение 2 ? − ? = √4 ? − ? имеет единственный корень.
18. В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик даёт порции по 100 г, второй – по 200 г, третий – по 300 г, четвёртый – по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма. а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма? б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все кролики получили разное количество корма? в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно четырём кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Решения и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом
Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 12–18, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными.
За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.