Автор ЕГЭ 2023. Задания №13 стереометрические задачи из сборника Ященко И.В с теорией ЕГЭ 2023 математика 11 класс профильный уровень с ответами и решением, 36 тренировочных вариантов заданий.
В конце работы приведены правильные ответы ко всем заданиям. Вы можете свериться с ними и найти у себя ошибки.
Скачать задания: Скачать
Интересные задания:
1. В основании пирамиды ????? лежит трапеция ???? с большим основанием ??. Диагонали пересекаются в точке ?. Точки ? и ? – середины боковых сторон ?? и ?? соответственно. Плоскость ? проходит через точки ? и ? параллельно прямой ??. а) Докажите, что сечение пирамиды ????? плоскостью ? является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды ????? плоскостью ?, если ?? = 9, ?? = 7, ?? = 6, а прямая ?? перпендикулярна прямой ??.
2. В основании пирамиды ????? лежит трапеция ???? с большим основанием ??. Диагонали пересекаются в точке ?. Точки ? и ? – середины боковых сторон ?? и ?? соответственно. Плоскость ? проходит через точки ? и ? параллельно прямой ??. а) Докажите, что сечение пирамиды ????? плоскостью ? является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды ????? плоскостью ?, если ?? = 8,5, ?? = 7,5, ?? = 6,5, а прямая ?? перпендикулярна прямой ??.
3. В прямой пятиугольной призме ??????1?1?1?1?1 высота ??1 равна 3 √ 5, ?? = ?? = 6, а четырехугольник ???? – прямоугольник со сторонами ?? = 5 и ?? = 4√ 5. а) Докажите, что плоскости ??1?1 и ???1 перпендикулярны. б) Найдите объем многогранника ????1?1.
4. В прямой пятиугольной призме ??????1?1?1?1?1 высота ??1 равна 2 √ 3, треугольник ??? – правильный, со стороной 6, а четырехугольник ???? — равнобедренная трапеция со сторонами ?? = ?? = 2, ?? = 6 и ?? = 4. а) Докажите, что плоскости ??1?1 и ???1 перпендикулярны. б) Найдите объем многогранника ????1?1.
5. В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром √ 13 и стороной основания 6 вписан шар. Плоскость ? перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через ее середину. а) Докажите, что плоскость ? и шар пересекаются более чем в одной точке. б) Найдите площадь сечения шара плоскостью ?.
6. В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания 2 √ 3 вписан шар. Плоскость ? перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через ее середину. а) Докажите, что плоскость ? и шар не имеют общих точек. б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости ?.
7. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды ????? относится к боковому ребру как 1 : √ 2. Через вершину ? проведена плоскость ?, перпендикулярная боковому ребру ?? и пересекающая его в точке ?. а) Докажите, что ? – середина ??. б) Найдите расстояние между прямыми ?? и ??, если высота пирамиды равна 6 √ 3.
8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды ????? относится к боковому ребру как 1 : √ 2. Через вершину ? проведена плоскость ?, перпендикулярная боковому ребру ?? и пересекающая его в точке ?. а) Докажите, что сечение пирамиды ????? плоскостью ? — это четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.
9. Грань ???? куба ?????1?1?1?1 является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью ?1?1?1 является круг, вписанный в четырехугольник ?1?1?1?1. а) Высота конуса равна ℎ, ребро куба равно ?. Докажите, что 3? < ℎ < 3,5?. б) Найдите угол между плоскостями ??? и ??1?, где ? – вершина конуса.
10. Грань ???? прямоугольного параллелепипеда ?????1?1?1?1 является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью ?1?1?1 является круг, вписанный в четырехугольник ?1?1?1?1; ?? = ?, ??1 = √ 2?. а) Высота конуса равна ℎ. Докажите, что 4,5? < ℎ < 5?. б) Найдите угол между плоскостями ??? и ??1?, где ? – вершина конуса.
11. В правильной треугольной пирамиде ???? сторона основания ?? равна 16, высота ?? равна 10. Точка ? – середина бокового ребра ??. Плоскость, параллельная плоскости ???, проходит через точку ? и пересекает ребра ?? и ?? в точках ? и ? соответсвенно. а) Докажите, что площадь четыреугольника ??? ? составляет 3 4 площади треугольника ???. б) Найдите объем пирамиды ???? ?.
12. В правильной четырехугольной пирамиде ????? сторона основания ?? равна 10, высота ?? равна 12. Точка ? – середина бокового ребра ??. Плоскость ??? пересекает боковое ребро ?? в точке ?. а) Докажите, что площадь четыреугольника ???? составляет 3 4 площади треугольника ???. б) Найдите объем пирамиды ?????.
13. В правильной треугольной призме ????1?1?1 на ребрах ?? и ?? отмечены соответсвенно точки ? и ? так, что ?? : ?? = ?? : ?? = 2 : 1. а) Докажите, что плоскость ???1 проходит через середину ребра ?1?1. б) Найдите площадь сечения призмы ????1?1?1 плоскостью ???1, если ?? = 6, ??1 = √ 3.
14. В правильной треугольной призме ????1?1?1 на ребрах ?? и ?? отмечены соответсвенно точки ? и ? так, что ?? : ?? = ?? : ?? = 2 : 1, точка ? – середина ребра ?1?1. а) Докажите, что плоскость ??? проходит через вершину ?1. б) Найдите расстояние от точки ? до плоскости ???, если ?? = 6, ??1 = 2,4.
15. В правильной призме ?????1?1?1?1 с основанием ???? боковое ребро равно √ 3, а сторона основания равна 2. Через точку ?1 перпендикулярно плоскости ??1?1 проведена прямая ?. а) Докажите, что прямая ? пересекает отрезок ?? и делит его в отношении 3 : 1. б) Найдите угол между прямыми ? и ??1.
16. В правильной призме ?????1?1?1?1 с основанием ???? боковое ребро равно 2, а сторона основания равна √ 6. Через точку ?1 перпендикулярно плоскости ??1?1 проведена прямая ?. а) Докажите, что прямая ? пересекает отрезок ?? и делит его в отношении 2 : 1. б) Найдите угол между прямыми ? и ??1.
17. Основание пирамиды ???? – прямоугольный треугольник ??? с прямым углом при вершине ?. Высота пирамиды проходит через точку ?. а) Докажите, что середина ребра ?? равноудалена от вершин ? и ?. б) Найдите угол между плоскостью ??? и прямой, проходящей через середины ребер ?? и ??, если известно, что ?? = ??.
18. Основание пирамиды ???? – прямоугольный треугольник ??? с прямым углом при вершине ?. Высота пирамиды проходит через точку ?. а) Докажите, что середина ребра ?? равноудалена от вершин ? и ?. б) Найдите угол между плоскостью ??? и прямой, проходящей через середины ребер ?? и ??, если известно, что ?? = 2??.
19. В правильной треугольной призме ????1?1?1 точка ? – середина ребра ??1, а ?? = ??1. Плоскость ? проходит через точки ? и ?1 параллельно прямой ??1. а) Докажите, что плоскость ? делит ребро ?1?1 в отношении 1 : 2. б) Найдите расстояние от точки ?1 до плоскости ?, если ?? = 6.
20. В правильной треугольной призме ????1?1?1 точки ? и ? — соответственно середины ребер ??1 и ??. Плоскость ? проходит через точки ? и ?1 параллельно прямой ??1. а) Докажите, что сечением призмы ????1?1?1 плоскость ? является равнобедренная трапеция. б) Найдите угол между прямой ??1 и плоскостью ?, если ?? = 4, ??1 = √ 3.
21. В правильной шестиугольной пирамиде ??????? сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро ?? равно 8. Точка М – середина ребра АВ. Плоскость ? перпендикулярна плоскости ??? и содержит точки М и ?. Прямая ?? пересекает плоскость ? в точке К. а) Докажите, что КМ = ??. б) Найдите объём пирамиды ????.
22. В основании четырёхугольной пирамиды ????? лежит прямоугольник ???? со сторонами ?? = 8 и ?? = 6. Длины боковых рёбер пирамиды ?? = √ 21, ?? = √ 85, ?? = √ 57. а) Докажите, что ?? – высота пирамиды. б) Найдите угол между прямыми ?? и ??.
23. В правильной треугольной пирамиде ???? сторона основания ?? равна 6, а боковое ребро ?? равно √ 21. На ребрах ?? и ?? отмечены точки ? и ? соответственно, причем ?? = 4, ?? : ?? = 1 : 3. а) Докажите, что плоскость ??? перпендикулярна плоскости ???. б) Найдите объем пирамиды ????.
24. В правильной четырехугольной пирамиде ????? сторона основания ?? равна 8, а боковое ребро ?? равно 7. На ребрах ?? и ?? отмечены точки ? и ? соответственно, причем ?? = 2, ?? = 1. Плоскость ? перпендикулярна плоскости ??? и содержит точки ? и ?. а) Докажите, что плоскость ? содержит точку ?. б) Найдите площадь сечения пирамиды ????? плоскостью ?.
25. В правильной шестиугольной призме ?????? ?1?1?1?1?1?1 сторона основания ?? равна 4, а боковое ребро ??1 равно 5 √ 3. На ребре ??1 отмечена точка ? так, что ?? : ??1 = 3 : 2. Плоскость ? параллельна прямой ?1?1 и проходит через точки ? и ?. а) Докажите, что сечение призмы ?????? ?1?1?1?1?1?1 плоскостью ? – равнобедренная трапеция. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка ?, а основанием – сечение призмы ?????? ?1?1?1?1?1?1 плоскостью ?.
26. В правильной шестиугольной призме ?????? ?1?1?1?1?1?1 сторона основания ?? равна 6, а боковое ребро ??1 равно 5 √ 3. На ребре ??1 отмечена точка ? так, что ?? : ??1 = 2 : 3. Плоскость ? параллельна прямой ?1?1 и проходит через точки ? и ?. а) Докажите, что сечение призмы ?????? ?1?1?1?1?1?1 плоскостью ? – равнобедренная трапеция. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка ?, а основанием – сечение призмы ?????? ?1?1?1?1?1?1 плоскостью ?.
27. В правильной четырёхугольной призме ?????1?1?1?1 сторона основания ?? равна 2 √ 3, а боковое ребро ??1 равно 3. На рёбрах ?1?1 и ??1 отмечены соответственно точки ? и ? так, что ?1? = ??1, a ?? : ??1 = 2 : 1. а) Докажите, что прямые ?? и ?? перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями ??? и ???1.
28. В правильной четырёхугольной призме ?????1?1?1?1 сторона основания ?? равна 3, а боковое ребро ??1 равно √ 3. На рёбрах ?1?1 и ??1 отмечены соответственно точки ? и ? так, что ?1? = ??1, a ?? : ??1 = 1 : 3. а) Докажите, что прямые ?? и ?? перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями ??? и ???1.
29. В правильной восьмиугольной призме ?????? ???1?1?1?1?1?1?1?1 сторона основания ?? равна 3 √ 2, а боковое ребро ??1 равно 6. На ребре ??1 отмечена точка ? так, что ?? : ??1 = 1 : 2. Плоскость ? параллельна прямой ?1?1 и проходит через точки ? и ?. а) Докажите, что сечение данной призмы плоскостью ? – равнобедренная трапеция. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка ?1, а основанием – сечение данной призмы ?????? ???1?1?1?1?1?1?1?1 плоскостью ?.
30. Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5. а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие. б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
31. В правильной треугольной пирамиде ???? сторона основания ?? равна 6, а боковое ребро ?? равно 7. На ребрах ?? и ?? отмечены точки ? и ? соответственно, причем ?? : ?? = ?? : ?? = 1 : 5. Плоскость ? содержит прямую ?? и параллельна прямой ??. а) Докажите, что плоскость ? параллельна прямой ??. б) Найдите угол между плоскостями ? и ???.
32. В правильной треугольной пирамиде ???? сторона основания ?? равна 4, а боковое ребро ?? равно 5. На ребре ?? отмечена точка ?, причем ?? : ?? = 1 : 3. Плоскость ? содержит точку ? и параллельна плоскости ???. а) Докажите, что сечение пирамиды ????? плоскостью ? – трапеция. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка ?, а основанием – сечение пирамиды ????? плоскостью ?.
33. В правильной треугольной усечённой пирамиде ????1?1?1 площадь нижнего основания ??? в четыре раза больше площади меньшего основания ?1?1С1. Через ребро ?? проведена плоскость ?, которая пересекает ребро ??1 в точке ? и делит пирамиду на два многогранника равного объёма. а) Докажите, что точка ? делит ребро ??1 в отношении 7 : 1, считая от точки ?. б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью ?, если высота пирамиды равна 2 √ 2, а ребро меньшего основания равно 2 √ 6
34. В правильной треугольной усечённой пирамиде ????1?1?1 площадь нижнего основания ??? в четыре раза больше площади меньшего основания ?1?1С1. Через ребро ?? проведена плоскость ?, которая пересекает ребро ??1 в точке ? и делит пирамиду на два многогранника равного объёма. а) Докажите, что точка ? делит ребро ??1 в отношении 5 : 13, считая от точки ?. б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью ?, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
35. Основанием пирамиды ? ??? является правильный треугольник ??? со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах ? ? и ? ? отмечены соответственно точки ? и ? так, что ?? = ?? = 20. Через точки ? и ? проведена плоскость ?, перпендикулярная плоскости ???. а) Докажите, что плоскость ? делит медиану ?? в отношении 2 : 7. б) Найдите расстояние от точки ? до плоскости ?.
36. Основанием пирамиды ? ??? является правильный треугольник ??? со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах ? ? и ? ? отмечены соответственно точки ? и ? так, что ?? = ? ? = 10. Через точки ? и ? проведена плоскость ?, перпендикулярная плоскости ???. а) Докажите, что плоскость ? делит медиану ?? в отношении 1 : 3. б) Найдите расстояние от точки ? до плоскости ?.
Вам будет интересно:
Все задания №9 по профильной математике из сборника Ященко И. В. ЕГЭ 2023 (задания и ответы)