Автор ЕГЭ 2025. Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.Пробный вариант составлен на основе официальной демоверсии от ФИПИ за 2025 год.
В конце варианта приведены правильные ответы ко всем заданиям. Вы можете свериться с ними и найти у себя ошибки.
Скачать тренировочный вариант ЕГЭ: Скачать
Или создайте свой оригинальный вариант: Перейти
1. Острый угол 𝐵 прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите угол между биссектрисой 𝐶𝐷 и высотой 𝐶𝑀, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
2. Даны векторы 𝑎⃗ (−13; 4) и 𝑏⃗⃗ (−6; 1). Найдите скалярное произведение 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗.
3. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 известно, что 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐶 = 4, 𝐴𝐴1 = 3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐴1 , 𝐵1 .
4. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
5. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?
8. На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−5; 4). Найдите корень уравнения 𝑓 ′ (𝑥) = 0.
9. Автомобиль, движущийся со скоростью 𝜈0 = 24 м/с, начал торможение с постоянным ускорением 𝑎 = 3 м/𝑐 2 . За 𝑡 секунд после начала торможения он прошёл путь 𝑆 = 𝜈0 𝑡 − 𝑎𝑡 2 2 (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.
10. На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(3).
12. Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 2 − 17𝑥 + 17) ∙ 𝑒 7−𝑥 .
14. В треугольной пирамиде 𝑃𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐵 = 17, 𝑃𝐵 = 10, cos∠𝑃𝐵𝐴 = 32 85 . Основанием высоты этой пирамиды является точка 𝐶. Прямые 𝑃𝐴 и 𝐵𝐶 перпендикулярны. а) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 прямоугольный. б) Найдите объём пирамиды 𝑃𝐴𝐵𝐶.
16. В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; – платежи в 2027 и 2028 годах должны быть по 400 тыс. рублей; – к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
17. Две окружности касаются внутренним образом в точке 𝐴, причём меньшая окружность проходит через центр 𝑂 большей. Диаметр 𝐵𝐶 большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке 𝑀, отличной от 𝐴. Лучи 𝐴𝑂 и 𝐴𝑀 пересекают большую окружность в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Точка 𝐶 лежит на дуге 𝐴𝑄 большей окружности, не содержащей точку 𝑃. а) Докажите, что прямые 𝑃𝑄 и 𝐵𝐶 параллельны. б) Известно, что sin ∠𝐴𝑂𝐶 = √5 3 . Прямые 𝑃𝐶 и 𝐴𝑄 пересекаются в точке 𝐾. Найдите отношение 𝑄𝐾:𝐾𝐴.
18. Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых система уравнений { 𝑎(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 𝑎𝑥 + (𝑎 − 3)𝑦 + 1 = 0, 𝑥𝑦 − 1 = 𝑦 − 𝑥 имеет ровно четыре различных решения.
19. Квадратное уравнение 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 имеет два различных натуральных корня. а) Пусть 𝑞 = 55. Найдите все возможные значения 𝑝. б) Пусть 𝑝 + 𝑞 = 30. Найдите все возможные значения 𝑞. в) Пусть 𝑞 2 − 𝑝 2 = 2108. Найдите все возможные корни уравнения.