Автор В демонстрационных вариантах ЕГЭ есть примеры заданий, но они не охватывают все возможные формулировки по каждому вопросу экзамена.
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 20 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут)
— Демоверсия: Скачать
— Спецификация: Скачать
— Кодификатор: Скачать
ЧАСТЬ 1 (Задания 1–13, краткий ответ)
1. В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 22, вписана окружность, AB = 8. Найдите длину стороны CD.
Ответ: ____
2.1. Площадь треугольника ABC равна 60, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
Ответ: ____
ИЛИ
2.2. В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD — биссектриса, угол BAD равен 23°. Найдите величину угла ADB. Ответ дайте в градусах.
Ответ: ____
3.1. На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение a·b.
Ответ: ____
ИЛИ
3.2. Даны векторы a(2; 2) и b(2; −2). Найдите длину вектора 7a + b.
Ответ: ____
ИЛИ
3.3. Даны векторы a(5; 3) и b(4; −6). Найдите скалярное произведение a·b.
Ответ: ____
4.1. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
Ответ: ____
ИЛИ
4.2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB = 9, BC = 6, AA₁ = 5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B₁.
Ответ: ____
ИЛИ
4.3. Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.
Ответ: ____
5.1. В сборнике билетов по химии всего 80 билетов, в 56 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете школьнику не достанется вопрос по теме «Углеводороды».
Ответ: ____
ИЛИ
5.2. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
Ответ: ____
ИЛИ
5.3. В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 14 из Аргентины, 10 из Бразилии, 15 из Парагвая и 11 из Уругвая. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Бразилии.
Ответ: ____
6.1. Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.
Ответ: ____
ИЛИ
6.2. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Ответ: ____
ИЛИ
6.3. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.
Ответ: ____
7. Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов.
| Выигрыш (руб.) | 100 | 1000 | 5000 | 10 000 | 50 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| Число билетов | 500 | 100 | 50 | 10 | 1 |
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Ответ: ____
8.1. Найдите корень уравнения 4^(x−4) = 64.
Ответ: ____
ИЛИ
8.2. Найдите корень уравнения 9^(9−7x) = 6.
Ответ: ____
ИЛИ
8.3. Найдите корень уравнения log₈(5x + 47) = 3.
Ответ: ____
9.1. Найдите значение выражения 3sin164° / (sin82°·sin8°).
Ответ: ____
ИЛИ
9.2. Найдите значение выражения log₀,₆50 − log₀,₆18.
Ответ: ____
ИЛИ
9.3. Найдите значение выражения 25^(√8+3) · 5^(−3−4√8).
Ответ: ____
10.1. На рисунке изображён график y = f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−10; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−2; 6].
Ответ: ____
ИЛИ
10.2. На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂, …, x₈. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.
Ответ: ____
ИЛИ
10.3. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
Ответ: ____
11.1. Автомобиль, движущийся со скоростью v₀ = 15 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 2 м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v₀t − at²/2 (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.
Ответ: ____
ИЛИ
11.2. В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора C = 8·10⁻⁶ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 5·10⁻⁶ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀ = 56 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (в киловольтах) за время t (в секундах), определяемое выражением t = αRC·log₂(U₀/U), где α = 1,5 — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 180 секунд. Ответ дайте в киловольтах.
Ответ: ____
ИЛИ
11.3. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a (в км/ч²). Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле v = √(2la), где l — пройденный путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,3 км, развить скорость 120 км/ч. Ответ дайте в км/ч².
Ответ: ____
12.1. Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: ____
ИЛИ
12.2. Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?
Ответ: ____
ИЛИ
12.3. Заказ на изготовление 112 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 2 детали больше?
Ответ: ____
13.1. На рисунке изображён график функции вида f(x) = k/x. Найдите значение f(10).
Ответ: ____
ИЛИ
13.2. На рисунке изображены графики функций f(x) = ax² + bx + c и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Ответ: ____
ИЛИ
13.3. На рисунке изображён график функции вида f(x) = aˣ. Найдите значение f(−3).
Ответ: ____
14. В июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 рублей в банке на три года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?
Ответ: ____
ЧАСТЬ 2 (Задания 14–20, развёрнутый ответ)
14.1. а) Решите уравнение cos 2x + √2·cos(x + π) + 1 = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π; −5π/2].
ИЛИ
14.2. а) Решите уравнение 4cos(x + π/4) + 2√2·cos(π − x) = 2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [17π/2; 10π].
15.1. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно.
а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны.
б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB = 12, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 30°.
ИЛИ
15.2. В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 4.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5 : 4.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью CMK.
16.1. Решите неравенство 2log₂(log₂x) + log₄x − 3 ≤ 0.
ИЛИ
16.2. Решите неравенство 2·8^(x−1) / (2·8^(x−1) − 1) ≥ 3/8^(x−1) + 8/(64^(x−5) · 8^x + 4).
17.1. На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 50 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи: I = ε/(r + R). Тепловая мощность: P = I²R. Какова максимальная тепловая мощность P?
ИЛИ
17.2. Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке: A = kθ₀ · τ² / √((T² − τ²)² + nτ²T²), где k = 0,91, θ₀ = 9°, τ — период волны (с), T = 14,7 с, n = 0,0792. При каком периоде волны амплитуда будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
18.1. Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH.
а) Докажите, что ∠OAC = 45°.
б) Найдите длину отрезка BC, если BO = 1 и AC = 6.
ИЛИ
18.2. Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 10 и AB = 24.
19.1. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{ 4x − y + a = 0,
{ 2|y| − x² + 4x = 0
имеет ровно два различных решения.
ИЛИ
19.2. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax⁴ − 2x³ + (a³ − a)x² − (2a² − 2)x = −ax³ + 2x² − (a³ − a)x + 2a² − 2
имеет ровно два различных корня.
20.1. На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше −120.
Известно, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
ИЛИ
20.2. Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.
а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?
б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?
Вам будет интересно:
Демоверсия ЕГЭ 2027 от ФИПИ по всем предметам